ESPERANZA MATEMÁTICA.

Valor numérico que expresa el valor medio de una variable aleatoria discreta; se presenta por µ,  o E(x). Matemáticamente tiene dos expresiones según se refiere a una variable aleatoria discreta:

o continua:

donde p es la probabilidad de cada suceso x y f(x) es la función de densidad. También se denomina media.

EJEMPLOS.

1)    En un casino se han inventado un juego de dados en el que cada participante paga 4€ por tirada y recibe el valor en euros igual al número que aparece en el dado tirado; ¿Quién saldrá ganando, el jugador o el casino?

para saber si el ganador tiene tenencia a ganar o perder se calcula la esperanza matemática del juego, para ello hay que conocer todos los sucesos posibles y sus probabilidades.

Sucesos (x)	1	2	3	4	5	6
Probabilidad (p)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

la esperanza matemática es:

μ= 3.5

este valor equivale a asegurar que en juego, de media se ganan 3.5 € por partida, si se tiene en cuenta que para hacer el juego siempre será desfavorable para el jugador porque perderá de media 0.5€ por apuesta.

2)      si un club vende 600 boletos para una rifa con un premio en efectivo de $120, ¿cuál será la esperanza matemática de una persona que compra esos boletos?

x	p(x)	µ
120	600	120/600=0.2

3) en un bazar organizado para reunir fondos para una obra de caridad, cuesta $1.00 probar la suerte retirando un as de una baraja normal de 52 cartas. ¿Cuál es el beneficio esperado por cliente por los organizadores del bazar, si pagan $10 si solo un cliente saca un as?

x	p(x)	x. p(x)
-1	48/52
10	4/52	40/52

μ=-8/52= -0.15

DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

las variables aleatorias discretas se representan en tablas de probabilidad por su función cuantía. y siempre se cumple que ∑p(x)=1

EJEMPLO:

1)  Construir una tabla de distribución de probabilidades donde x es el numero que sale al lanzar un dado.

x toma los valores de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 todos ellos con igual probabilidad.

X	1	2	3	4	5	6
P(x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

∑p(x)=1

DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:

las variables aleatorias continuas se representan por medio de funciones de densidad.

una función f(x) se dice que es densidad si cumple los siguientes requisitos:

a) f(x)≥0; estos es; positiva.

 es decir la probabilidad total de la función extendida a todo el conjunto de los números reales es igual a la unidad.

se suelen calcular probabilidades de intervalos según el área comprendida bajo el intervalo dado .

por ejemplo:

la función f(x)= 3x²  si se quiere calcular por ejemplo p(0.3 ≤ x ≤ 0.6) basta con determinar el área entre 0.3 y 0.6:

DISTRIBUCION BINOMIAL:

conjunto de probabilidades en las que interviene discreta cuya función de densidad es  

donde:

 n=intentos

 x=éxitos

p= probabilidades a favor

q= probabilidades en contra

en cualquier distribución binomial siempre deben presentarse dos únicos sucesos.

EJEMPLOS:

1)  si la probabilidad de que un juego de tenis entre dos jugadores profesionales llegue a la muerte súbita es de 0.15, ¿Cuál es la probabilidad de que dos de tres encuentros entre estos jugadores lleguen a la muerta súbita?

 n=3 juegos

x= 2 lleguen a muerte súbita

p= probabilidad de que lleguen a muerte súbita

q=probabilidad de que NO lleguen a muerte súbita.

p(x)=c_x^n∙p^x∙q^(x-n)

p(4)=c_4^6∙〖(0.6)〗^4∙〖(0.4)〗^2=0.31

p(4)=31%

                                   =0.057=5.7%

2)    en una ciudad determinada se dice que los gastos médicos son la razón del 60% de todas las bancarrotas personales. ¿Cuál es la probabilidad de que se mencionen los gastos médicos como el motivo de 4 de las 6 bancarrotas personales próximas que se registren en esa ciudad?

n=6

x=4

p=0.6

q=0.4

p(4)=31%

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA:

Conjunto de probabilidades en las que intervienen dos subconjuntos de una variable aleatoria discreta, cuya función es:

donde:

a y b=son subconjuntos

n=intentos

x= éxitos

EJEMPLOS:

1)    entre las 20 celdas solares que se presentan en una exposición comercial; 2 son celdas planas y las otras son celdas de concentración. Si una persona que visita la exposición selecciona al azar 6 de las celdas solares para revisarlas, ¿cuál es la probabilidad de que 3 de estas sean planas?

experimento	Evento
n=20 r=6 C_6^20	3 planas y por lo tanto 3 de concentración n=12                              n=8 r=3                                r= 3 C_3^12∙C_3^8

p(3)=(C_3^12∙C_3^8)/(C_6^20 )=0.318=31.8%